Exercice 19 La ruine du joueur

1.

$$\boxed{P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ Les états $0$ et $3$ ont une boucle de probabilité $1$ : une fois atteints, on ne les quitte plus. Ce sont des états absorbants.

2. Avec $r_{0}=1$ et $r_{3}=0$ : $r_{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}r_{2}$ et $r_{2}=\frac{1}{2}r_{1}$. En reportant : $r_{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}r_{1}$, soit $\frac{3}{4}r_{1}=\frac{1}{2}$. $$\boxed{r_{1}=\frac{2}{3} \qquad ; \qquad r_{2}=\frac{1}{3}}$$ Partant de $1$ €, le joueur a deux chances sur trois d'être ruiné avant d'avoir atteint $3$ €.

3. La calculatrice donne $P^{20}\approx\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0{,}667 & 0 & 0 & 0{,}333 \\ 0{,}333 & 0 & 0 & 0{,}667 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, à $10^{-3}$ près. La deuxième ligne donne la loi de $X_{20}$ en partant de $1$ : la chaîne est presque sûrement absorbée, en $0$ avec probabilité proche de $\frac{2}{3}=r_{1}$, en $3$ avec probabilité proche de $\frac{1}{3}$. Les deux méthodes concordent.

4. $\begin{pmatrix} p & 0 & 0 & 1-p \end{pmatrix}P=\begin{pmatrix} p & 0 & 0 & 1-p \end{pmatrix}$, puisque les lignes $1$ et $4$ de $P$ sont celles de l'identité. Il y a donc une infinité de distributions invariantes. Ce n'est pas contradictoire avec la Proposition 3 : son hypothèse n'est pas vérifiée, car $P$ a des coefficients nuls hors de la diagonale. Une proposition qui donne une condition suffisante ne dit rien quand la condition n'est pas remplie.