Exercice 7

1. Comme $P(X_{0}=A)+P(X_{0}=B)+P(X_{0}=C)=1$, on a $P(X_{0}=C)=1-0{,}2-0{,}5=0{,}3$, d'où $\pi_{0}=\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \end{pmatrix}$.

On lit sur le graphe les probabilités d'arriver en chaque état, à l'aide de la formule des probabilités totales.

(a) $$P(X_{1}=A)=0{,}2\times 0{,}3+0{,}5\times 0{,}7+0{,}3\times 0{,}4 =0{,}06+0{,}35+0{,}12=\boxed{0{,}53}$$

(b) $$P(X_{1}=B)=0{,}2\times 0{,}5+0{,}5\times 0{,}3+0{,}3\times 0{,}6 =0{,}10+0{,}15+0{,}18=\boxed{0{,}43}$$

(c) $$P(X_{1}=C)=0{,}2\times 0{,}2+0{,}5\times 0+0{,}3\times 0=\boxed{0{,}04}$$ On vérifie : $0{,}53+0{,}43+0{,}04=1$.

(d) On repart de $\pi_{1}=\begin{pmatrix} 0{,}53 & 0{,}43 & 0{,}04 \end{pmatrix}$ : $$P(X_{2}=A)=0{,}53\times 0{,}3+0{,}43\times 0{,}7+0{,}04\times 0{,}4 =0{,}159+0{,}301+0{,}016=\boxed{0{,}476}$$

2. On lit les arêtes partant de chaque sommet : $$\boxed{M=\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}7 & 0{,}3 & 0 \\ 0{,}4 & 0{,}6 & 0 \end{pmatrix}}$$ Les deux zéros de la dernière colonne traduisent qu'aucune arête n'arrive en $C$ depuis $B$ ou depuis $C$ : une fois quitté, l'état $C$ ne peut être atteint que depuis $A$.

On retrouve alors les résultats de la question 1 par le calcul matriciel : $$\pi_{1}=\pi_{0}M=\begin{pmatrix} 0{,}53 & 0{,}43 & 0{,}04 \end{pmatrix} \qquad ; \qquad \pi_{2}=\pi_{1}M=\begin{pmatrix} 0{,}476 & 0{,}418 & 0{,}106 \end{pmatrix}$$