Exercice 21 Principe de Hardy-Weinberg

On suppose bien sûr $x_{1}+2y_{1}+z_{1}=1$.

a) Un parent pris au hasard transmet l'allèle $a$ s'il est de génotype $aa$ (probabilité $x_{1}$, transmission certaine) ou s'il est de génotype $aA$ (probabilité $2y_{1}$, transmission avec probabilité $\frac{1}{2}$). Par la formule des probabilités totales, il transmet $a$ avec la probabilité $\alpha=x_{1}+2y_{1}\times\frac{1}{2}=x_{1}+y_{1}$, et $A$ avec la probabilité $\beta=y_{1}+z_{1}=1-\alpha$. Les deux parents étant indépendants : $$\boxed{x_{2}=\alpha^{2}=(x_{1}+y_{1})^{2} \qquad z_{2}=\beta^{2}=(y_{1}+z_{1})^{2} \qquad 2y_{2}=2\alpha\beta=2(x_{1}+y_{1})(y_{1}+z_{1})}$$ Le facteur $2$ du génotype $aA$ vient de ce que l'allèle $a$ peut venir du père ou de la mère.

b) La probabilité de transmettre $a$ à la génération suivante vaut : $$x_{2}+y_{2}=\alpha^{2}+\alpha\beta=\alpha(\alpha+\beta)=\alpha=x_{1}+y_{1}$$ La fréquence de l'allèle $a$ est conservée. Le même calcul, appliqué entre les générations $n$ et $n+1$, montre par récurrence que $x_{n}+y_{n}=\alpha$ pour tout $n\geqslant 1$, et donc $y_{n}+z_{n}=\beta$. Pour $n\geqslant 2$, la question a) appliquée entre les générations $n-1$ et $n$ donne : $$x_{n}=(x_{n-1}+y_{n-1})^{2}=\alpha^{2}=x_{2}, \qquad y_{n}=\alpha\beta=y_{2}, \qquad z_{n}=\beta^{2}=z_{2}$$

Comme pour la Partie B de l'exercice 16, l'état d'équilibre est atteint en une seule étape. Ce n'est pas tout à fait une chaîne de Markov au sens du cours : les probabilités de la génération suivante dépendent ici de la répartition des génotypes de toute la population, et non d'une matrice fixe.