Exercice 22 Puissances d'une matrice de transition à deux états

1. On calcule, en factorisant par $\frac{1}{p+q}$ ou $\frac{1}{(p+q)^{2}}$ :

• $A+B=\frac{1}{p+q}\begin{pmatrix} p+q & 0 \\ 0 & p+q \end{pmatrix}=I_{2}$ ;

• $\begin{pmatrix} q & p \\ q & p \end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix} q^{2}+pq & qp+p^{2} \\ q^{2}+pq & qp+p^{2} \end{pmatrix}=(p+q)\begin{pmatrix} q & p \\ q & p \end{pmatrix}$, d'où $A^{2}=A$ ; de même $\begin{pmatrix} p & -p \\ -q & q \end{pmatrix}^{2}=(p+q)\begin{pmatrix} p & -p \\ -q & q \end{pmatrix}$, d'où $B^{2}=B$ ;

• $\begin{pmatrix} q & p \\ q & p \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & -p \\ -q & q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} qp-pq & -qp+pq \\ qp-pq & -qp+pq \end{pmatrix}=0$, et de même dans l'autre ordre : $AB=BA=0$ ;

• le coefficient $(1,1)$ de $A+rB$ vaut $\frac{q+(1-p-q)p}{p+q}=\frac{(p+q)-p(p+q)}{p+q}=1-p$. De même pour les trois autres, on trouve $P=A+rB$.

2. Initialisation : $P^{0}=I_{2}=A+B=A+r^{0}B$.

Hérédité : Si $P^{n}=A+r^{n}B$, alors $P^{n+1}=(A+r^{n}B)(A+rB)=A^{2}+rAB+r^{n}BA+r^{n+1}B^{2}=A+r^{n+1}B$.

Conclusion : $\boxed{P^{n}=A+r^{n}B}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

3. $0<p+q<2$, donc $-1<r=1-(p+q)<1$, et $r^{n}\to 0$. Ainsi : $$P^{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}A=\begin{pmatrix} \frac{q}{p+q} & \frac{p}{p+q} \\[1mm] \frac{q}{p+q} & \frac{p}{p+q} \end{pmatrix}$$ Les deux lignes de la limite sont égales à la distribution invariante $\pi=\left(\frac{q}{p+q},\frac{p}{p+q}\right)$ trouvée dans la démonstration de la Proposition 4. Quel que soit l'état de départ, la loi de $X_{n}$ tend vers $\pi$.

4. Ici $p=0{,}2$, $q=0{,}4$ et $r=0{,}4$ : $$\boxed{P^{n}=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\[1mm] \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}+0{,}4^{n}\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\[1mm] -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}}$$ On retrouve $\pi=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$. Contrôle pour $n=1$ : $\frac{2}{3}+0{,}4\times\frac{1}{3}=\frac{2{,}4}{3}=0{,}8$. Cette décomposition joue le rôle de la diagonalisation de l'exercice 26 du chapitre 3 : $A$ et $B$ « séparent » les deux comportements, la partie stable $A$ et la partie qui s'éteint, $r^{n}B$.