ExercicePremière, chapitre 1 — Second degré · Fonctions polynômes du second degré

Exercice 1

Calcul

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, déterminer s'il s'agit ou non d'une fonction trinôme. Si oui, donner ses paramètres $a$ , $b$ et $c$ .

1. $f(x)=x^{2}-x+2$

2. $f(x)=3x^{2}+5-7x$

3. $f(x)=\sqrt{2}x-x^{2}+\pi$

4. $f(x)=x(x^{2}+2x+2)$

5. $f(x)=3+\dfrac{x^{2}}{3}-2x$

6. $f(x)=7x-x^{2}$

7. $f(x)=5x(x-1)+2$

8. $f(x)=x(1-x)+x^{2}$

9. $f(x)=2x(x+1)+3(x-5)$

10. $f(x)=x(x^{2}+4)-x(x^{2}+x)$

11. $f(x)=\dfrac{x^{2}+4x-1}{2}$

12. $f(x)=\dfrac{x^{3}+2x^{2}-4x}{3x}-2x$

Corrigé

Une fonction est une fonction trinôme lorsqu'elle est définie sur $\mathbb{R}$ et qu'elle peut s'écrire $ax^{2}+bx+c$ avec $a \neq 0$ . On développe donc systématiquement avant de conclure.

	Forme développée	Trinôme ?	$\boldsymbol{a}$	$\boldsymbol{b}$	$\boldsymbol{c}$
1.	$x^{2}-x+2$	oui	$1$	$-1$	$2$
2.	$3x^{2}-7x+5$	oui	$3$	$-7$	$5$
3.	$-x^{2}+\sqrt{2}x+\pi$	oui	$-1$	$\sqrt{2}$	$\pi$
4.	$x^{3}+2x^{2}+2x$	non	degré $3$
5.	$\frac{1}{3}x^{2}-2x+3$	oui	$\frac{1}{3}$	$-2$	$3$
6.	$-x^{2}+7x$	oui	$-1$	$7$	$0$
7.	$5x^{2}-5x+2$	oui	$5$	$-5$	$2$
8.	$x$	non	$a=0$ : fonction affine
9.	$2x^{2}+5x-15$	oui	$2$	$5$	$-15$
10.	$-x^{2}+4x$	oui	$-1$	$4$	$0$
11.	$\frac{1}{2}x^{2}+2x-\frac{1}{2}$	oui	$\frac{1}{2}$	$2$	$-\frac{1}{2}$
12.	$\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$	non	non définie en $0$

Piège de la question 8 : le terme en $x^{2}$ disparaît au développement, puisque $x(1-x)+x^{2}=x-x^{2}+x^{2}=x$ . La condition $a \neq 0$ n'est donc pas vérifiée.

Piège de la question 12 : le quotient n'existe pas pour $x=0$ , à cause du dénominateur $3x$ . La fonction n'est donc pas définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, même si elle coïncide avec un trinôme sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

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