Exercice 28

1. Le point $E$ appartient à $[AB]$, qui mesure $5$ cm, donc $AE=x$ varie entre $0$ et $5$. Le point $F$ appartient à $[BC]$ avec $CF=x$, ce qui donne la même contrainte. $$\boxed{x \in [0\,;5]}$$

2. Le triangle $AEF$ est rectangle en $E$, puisque $E$ appartient au côté $[AB]$ et que l'angle en $B$ du carré est droit. On prend $[AE]$ pour base : la hauteur associée est la distance de $F$ à la droite $(AB)$, c'est-à-dire $BF$. Or : $$BF = BC - CF = 5-x$$ L'aire du triangle vaut donc : $$\boxed{\mathcal{A}(x) = \frac{AE \times BF}{2} = \frac{x(5-x)}{2} = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{2}x}$$

3. La fonction $\mathcal{A}$ est un trinôme de coefficient dominant $-\dfrac{1}{2}<0$ : elle admet donc un maximum, atteint en : $$\alpha = -\frac{\frac{5}{2}}{2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{5}{2}$$ Cette valeur appartient bien à $[0\,;5]$, et : $$\mathcal{A}\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{\frac{5}{2} \times \frac{5}{2}}{2} = \frac{25}{8} = 3{,}125$$

$$\boxed{\text{L'aire est maximale pour } x=2{,}5 \text{ cm, et vaut alors } 3{,}125 \text{ cm}^{2}.}$$ Le point $E$ est alors le milieu de $[AB]$, ce que la symétrie de l'expression $x(5-x)$ laissait prévoir.

4. On résout : $$\frac{x(5-x)}{2}=2{,}75 \iff x(5-x)=5{,}5 \iff -x^{2}+5x-5{,}5=0 \iff 2x^{2}-10x+11=0$$ Le discriminant vaut $\Delta = 100-88 = 12 > 0$, et $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, d'où : $$x_{1}=\frac{10-2\sqrt{3}}{4}=\frac{5-\sqrt{3}}{2} \qquad\text{et}\qquad x_{2}=\frac{10+2\sqrt{3}}{4}=\frac{5+\sqrt{3}}{2}$$ Les deux valeurs $\dfrac{5-\sqrt{3}}{2} \approx 1{,}63$ et $\dfrac{5+\sqrt{3}}{2} \approx 3{,}37$ appartiennent à $[0\,;5]$. $$\boxed{x = \frac{5-\sqrt{3}}{2} \quad\text{ou}\quad x = \frac{5+\sqrt{3}}{2}}$$ Ces deux valeurs sont symétriques par rapport à $2{,}5$, ce qui est cohérent avec la question précédente : la parabole prend deux fois la même valeur de part et d'autre de son sommet.