Exercice 29

Notons $v$ la vitesse moyenne, en km/h, du cycliste le plus lent, avec $v>0$. Celle de l'autre vaut $v+4$. Le temps de parcours étant le quotient de la distance par la vitesse, le plus lent met $\dfrac{195}{v}$ heures et le plus rapide $\dfrac{195}{v+4}$ heures. Le plus rapide arrive une heure plus tôt : $$\frac{195}{v}-\frac{195}{v+4}=1$$ On réduit au même dénominateur, sachant que $v>0$ et donc $v+4>0$ : $$\frac{195(v+4)-195v}{v(v+4)}=1 \iff \frac{780}{v(v+4)}=1 \iff v^{2}+4v=780 \iff v^{2}+4v-780=0$$ Le discriminant vaut $\Delta = 16+3\,120 = 3\,136$, et $\sqrt{3\,136}=56$, d'où : $$v = \frac{-4-56}{2}=-30 \qquad\text{ou}\qquad v = \frac{-4+56}{2}=26$$ Une vitesse étant positive, la valeur $-30$ est à rejeter. $$\boxed{\text{Les deux cyclistes roulent à } 26 \text{ km/h et } 30 \text{ km/h.}}$$ Vérification : $\dfrac{195}{26}=7{,}5$ heures et $\dfrac{195}{30}=6{,}5$ heures : l'écart est bien d'une heure ✓