ExercicePremière, chapitre 2 — Suites · Généralités

Exercice 11 Méthode de Héron

AlgorithmiqueCalcul

On reprend la méthode présentée en introduction du cours : pour approcher $\sqrt{a}$ , on remplace à chaque étape la longueur $x$ par la moyenne de $x$ et de $\dfrac{a}{x}$ . Pour $a=2$ , cela conduit à la suite $(u_{n})$ définie par : $\left\{ \begin{array}{ll} u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\dfrac{2}{u_{n}}\right)\\ u_{0}=1 \end{array} \right.$

1. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ sous forme de fractions irréductibles.

2. Donner une valeur approchée de $u_{3}$ à $10^{-6}$ près, puis la comparer à celle de $\sqrt{2}$ . Combien de décimales exactes obtient-on en trois étapes seulement ?

3. Recopier et compléter la fonction Python suivante, qui renvoie le terme $u_{n}$ :

def heron(n):
    u = 1
    for i in range(n):
        u = ...
    return u

4. Modifier cette fonction pour qu'elle prenne le nombre $a$ en argument et approche $\sqrt{a}$ . La tester avec $a=5$ .

5. À l'aide de la calculatrice ou de Python, déterminer le plus petit rang $n$ tel que : $|u_{n}-\sqrt{2}|\leqslant 10^{-9}$

Corrigé

1. On applique la relation de récurrence : $u_{1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{1}\right)=\frac{3}{2} \qquad ; \qquad u_{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{2}\times\frac{17}{6} =\frac{17}{12}$

u_{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right) =\frac{1}{2}\times\frac{289+288}{204}=\frac{577}{408}

\boxed{u_{1}=\frac{3}{2} \quad ; \quad u_{2}=\frac{17}{12} \quad ; \quad u_{3}=\frac{577}{408}}

2. On compare les deux écritures décimales : $u_{3}\approx 1,414216 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{2}\approx 1,414214$

$\boxed{\text{les }5\text{ premières décimales sont exactes après trois étapes seulement}}$ L'écart vaut environ $2\times 10^{-6}$ : la méthode double approximativement le nombre de décimales exactes à chaque étape.

3. Il suffit de traduire la relation de récurrence :

def heron(n):
    u = 1
    for i in range(n):
        u = (u + 2/u)/2
    return u

4. On remplace $2$ par le paramètre a :

def heron(a, n):
    u = 1
    for i in range(n):
        u = (u + a/u)/2
    return u

Pour $a=5$ , on obtient $\texttt{heron(5, 5)}\approx 2,236068$ , alors que $\sqrt{5}\approx 2,2360680$ .

5. En comparant les termes successifs à $\sqrt{2}$ : $|u_{3}-\sqrt{2}|\approx 2,1\times 10^{-6} \qquad\text{et}\qquad |u_{4}-\sqrt{2}|\approx 1,6\times 10^{-12}$

\boxed{n=4}

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 6 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence

Thèmes

suites, suite définie par récurrence, Python

Notions

suite