Exercice 12

Une suite est arithmétique lorsque la différence $u_{n+1}-u_{n}$ est constante.

1. $u_{n+1}-u_{n}=3(n+1)-5-3n+5=3$ : $\boxed{\text{arithmétique, }u_{0}=-5\text{ et }r=3}$

2. La relation donne $u_{n+1}=\dfrac{3n+1}{2}$, donc $u_{n}=\dfrac{3n-2}{2}$ pour $n\geqslant 1$, et : $$u_{n+1}-u_{n}=\frac{3n+1}{2}-\frac{3n-2}{2}=\frac{3}{2}$$ $\boxed{\text{arithmétique, }u_{1}=\frac{1}{2}\text{ et }r=\frac{3}{2}}$

3. $u_{n+1}-u_{n}=(n+1)n-n(n-1)=n\big[(n+1)-(n-1)\big]=2n$, qui dépend de $n$ : $\boxed{\text{pas arithmétique}}$

4. $u_{n+1}-u_{n}=(n+1)^{2}-3-n^{2}+3=2n+1$, qui dépend de $n$ : $\boxed{\text{pas arithmétique}}$

5. En développant, $u_{n}=(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$, donc $u_{n+1}-u_{n}=2$ : $$\boxed{\text{arithmétique, }u_{0}=1\text{ et }r=2}$$

6. En développant, $u_{n}=4n^{2}-4n-n^{2}-n=3n^{2}-5n$, donc $u_{n+1}-u_{n}=3(2n+1)-5=6n-2$ : $\boxed{\text{pas arithmétique}}$