ExercicePremière, chapitre 2 — Suites · Généralités

Exercice 10

AlgorithmiqueConjectureCalcul

Soit pour tout $n\in\mathbb{N}$ la suite définie par : $u_{n}=5+\frac{3}{2n+1}$

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ .

2. Déterminer le sens de variation de $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ .

3. Déterminer par le calcul le plus petit entier $n_{0}$ tel que : $|u_{n}-5|\leqslant 0,001$

4. Conjecturer la limite de la suite.

5. Écrire un algorithme permettant de trouver le rang $n_{0}$ à partir duquel $|u_{n}-5|\leqslant \varepsilon$ pour un $\varepsilon$ donné par l'utilisateur.

6. Programmer cet algorithme en Python et le tester pour $\varepsilon=0,001$ et $\varepsilon=10^{-5}$ .

Corrigé

1. On remplace $n$ par $0$ , $1$ , $2$ , $3$ puis $4$ : $\boxed{u_{0}=8 \; ; \; u_{1}=6 \; ; \; u_{2}=5,6 \; ; \; u_{3}=5+\frac{3}{7}\approx 5,43 \; ; \; u_{4}=5+\frac{1}{3}\approx 5,33}$

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_{n}=\frac{3}{2n+3}-\frac{3}{2n+1}=\frac{3(2n+1)-3(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)} =\frac{-6}{(2n+1)(2n+3)}<0$

\boxed{\text{la suite }(u_{n})\text{ est décroissante}}

3. Comme $u_{n}-5=\dfrac{3}{2n+1}>0$ , on a $|u_{n}-5|=\dfrac{3}{2n+1}$ , d'où : $\frac{3}{2n+1}\leqslant 0,001 \iff 2n+1\geqslant 3\,000 \iff n\geqslant 1\,499,5$

\boxed{n_{0}=1\,500}

4. Les termes se rapprochent de $5$ d'aussi près que l'on veut : $\boxed{\text{on conjecture que la limite vaut }5}$

5. On augmente le rang tant que l'écart reste supérieur à $\varepsilon$ :

Saisir eps

n ← 0

Tant que 3/(2n+1) > eps

n ← n + 1

Fin tant que

Afficher n

6. Le programme correspondant est :

def rang(eps):
    n = 0
    while 3/(2*n+1) > eps:
        n = n + 1
    return n

\boxed{\texttt{rang(0.001)}\text{ renvoie }1\,500 \qquad\text{et}\qquad \texttt{rang(10**(-5))}\text{ renvoie }150\,000}

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suite convergente, limite

Thèmes

suites, sens de variation, comportement à l'infini, Python

Notions

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