ExercicePremière, chapitre 2 — Suites · Suites particulières

Exercice 16 Suite auxiliaire

Calcul

Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_{0}=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}+1}$ .

1. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$ . Calculer $v_{0}$ , $v_{1}$ , $v_{2}$ , $v_{3}$ et $v_{4}$ .

3. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

4. Déterminer $v_{n}$ en fonction de $n$ .

5. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

1. $u_{1}=\dfrac{1}{2}$ , $u_{2}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}$ , puis : $\boxed{u_{1}=\frac{1}{2} \; ; \; u_{2}=\frac{1}{3} \; ; \; u_{3}=\frac{1}{4} \; ; \; u_{4}=\frac{1}{5}}$

2. En prenant les inverses : $\boxed{v_{0}=1 \; ; \; v_{1}=2 \; ; \; v_{2}=3 \; ; \; v_{3}=4 \; ; \; v_{4}=5}$

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ (les termes $u_{n}$ étant non nuls) : $v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=1+\frac{1}{u_{n}}=v_{n}+1$

\boxed{(v_{n})\text{ est arithmétique de raison }1}

4. Comme $v_{0}=1$ : $\boxed{v_{n}=1+n}$

5. Enfin $u_{n}=\dfrac{1}{v_{n}}$ : $\boxed{u_{n}=\frac{1}{n+1}}$

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 8 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence

Thèmes

suites, suite définie par récurrence, suite arithmétique, raison, suite auxiliaire

Notions

suite