Exercice 17

Une suite est géométrique lorsque le quotient $\dfrac{v_{n+1}}{v_{n}}$ est constant.

1. $\dfrac{v_{n+1}}{v_{n}}=\dfrac{5^{n+4}}{5^{n+3}}=5$ : $\boxed{\text{géométrique, }v_{0}=125\text{ et }q=5}$

2. $v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{2}{3}$ : la suite est arithmétique, mais le quotient $\dfrac{2n+5}{2n+3}$ n'est pas constant : $\boxed{\text{pas géométrique}}$

3. $v_{0}=1$, $v_{1}=6$ et $v_{2}=15$, or $\dfrac{6}{1}\neq\dfrac{15}{6}$ : $\boxed{\text{pas géométrique}}$

4. La relation s'écrit $v_{n+1}=\dfrac{2v_{n}+1}{5}$ : la présence du $+1$ empêche le quotient d'être constant. En effet $v_{1}=-\dfrac{1}{5}$ et $v_{2}=\dfrac{3}{25}$, or $\dfrac{v_{1}}{v_{0}}=\dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{v_{2}}{v_{1}}=-\dfrac{3}{5}$ : $\boxed{\text{pas géométrique}}$

5. La relation s'écrit $v_{n+1}=\dfrac{2}{5}v_{n}$ : $\boxed{\text{géométrique, }v_{0}=-1\text{ et }q=\frac{2}{5}}$

6. On factorise par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ : $$v_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1\right] =-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$ $\boxed{\text{géométrique, }v_{0}=-\frac{3}{2}\text{ et }q=\frac{1}{2}}$