ExercicePremière, chapitre 2 — Suites · Suites particulières

Exercice 21 Suite auxiliaire

DémonstrationCalcul

Soit $(u_{n})$ une suite définie par $u_{0}=2$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=2u_{n}+5$ .

1. Calculer les 4 premiers termes de la suite.

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_{n}=u_{n}+5$ . Calculer les 4 premiers termes de la suuite $v_{n}$ .

3. Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique.

4. En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis celle de $u_{n}$ .

Corrigé

1. $\boxed{u_{0}=2 \; ; \; u_{1}=9 \; ; \; u_{2}=23 \; ; \; u_{3}=51}$

2. En ajoutant $5$ à chaque terme : $\boxed{v_{0}=7 \; ; \; v_{1}=14 \; ; \; v_{2}=28 \; ; \; v_{3}=56}$

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_{n+1}=u_{n+1}+5=2u_{n}+5+5=2u_{n}+10=2\left(u_{n}+5\right)=2v_{n}$

\boxed{(v_{n})\text{ est géométrique de raison }2\text{ et de premier terme }v_{0}=7}

4. On en déduit $v_{n}=7\times 2^{n}$ , puis $u_{n}=v_{n}-5$ : $\boxed{v_{n}=7\times 2^{n} \qquad\text{et}\qquad u_{n}=7\times 2^{n}-5}$

suites, suite définie par récurrence, suite géométrique, suite auxiliaire