Exercice 22

1. Armand dépense le quart de $40$ €, il lui reste donc $30$ €, auxquels s'ajoutent les $25$ € retirés le soir : $$\boxed{55\text{~€ le 2 janvier au matin}}$$

2. En répétant le procédé : $$\boxed{u_{1}=55 \; ; \; u_{2}=66,25 \; ; \; u_{3}=74,687\,5}$$

3. Les différences successives valent $15$ ; $11,25$ ; $8,437\,5$ : elles ne sont pas constantes. Les quotients valent $1,375$ ; $1,204\ldots$ : ils ne le sont pas non plus. $$\boxed{\text{la suite n'est ni arithmétique ni géométrique}}$$

4. Dépenser le quart de $u_{n}$ revient à en conserver les trois quarts, puis Armand ajoute $25$ € : $$\boxed{u_{n+1}=\frac{3}{4}u_{n}+25}$$

5. (a) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$v_{n+1}=u_{n+1}-100=\frac{3}{4}u_{n}+25-100=\frac{3}{4}u_{n}-75 =\frac{3}{4}\left(u_{n}-100\right)=\frac{3}{4}v_{n}$$

(b) Son premier terme vaut $v_{0}=40-100=-60$, d'où : $$\boxed{v_{n}=-60\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}$$

(c) Comme $u_{n}=v_{n}+100$ : $$\boxed{u_{n}=100-60\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}$$

(d) Le 15 janvier au matin correspond à $n=14$ : $$u_{14}=100-60\left(\frac{3}{4}\right)^{14}\approx 100-1,07$$

$$\boxed{u_{14}\approx 98,93\text{~€}}$$ On constate que la somme se rapproche de $100$ € : c'est la valeur vers laquelle tend la suite.