ExercicePremière, chapitre 2 — Suites · Suites particulières

Exercice 23

Calcul

Le 1er janvier 2025, Léa et Marc disposent chacun de $2\,000$ €.

• Léa place la totalité de cette somme sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an.

• Marc conserve son argent chez lui, et y ajoute $70$ € chaque 1er janvier.

On note $L_{n}$ et $M_{n}$ les sommes possédées par Léa et par Marc le 1er janvier de l'année $2025+n$ . On a donc $L_{0}=M_{0}=2\,000$ .

1. Calculer $L_{1}$ , $L_{2}$ , $M_{1}$ et $M_{2}$ .

2. Exprimer $L_{n+1}$ en fonction de $L_{n}$ , puis $M_{n+1}$ en fonction de $M_{n}$ . Préciser la nature de chacune des deux suites, ainsi que leur raison.

3. En déduire l'expression de $L_{n}$ et de $M_{n}$ en fonction de $n$ .

4. Quelle somme chacun possédera-t-il le 1er janvier 2035 ? Arrondir au centime.

5. À l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année Léa possédera davantage d'argent que Marc.

Corrigé

1. Augmenter de $3\,\%$ revient à multiplier par $1,03$ : $\boxed{L_{1}=2\,060 \; ; \; L_{2}=2\,121,80 \; ; \; M_{1}=2\,070 \; ; \; M_{2}=2\,140}$

2. Chaque année, la somme de Léa est multipliée par $1,03$ , tandis que celle de Marc augmente de $70$ € : $\boxed{L_{n+1}=1,03\,L_{n} \; : \; \text{géométrique de raison }1,03}$

\boxed{M_{n+1}=M_{n}+70 \; : \; \text{arithmétique de raison }70}

3. Avec $L_{0}=M_{0}=2\,000$ : $\boxed{L_{n}=2\,000\times 1,03^{\,n} \qquad\text{et}\qquad M_{n}=2\,000+70n}$

4. Le 1er janvier 2035 correspond à $n=10$ : $L_{10}=2\,000\times 1,03^{10}\approx 2\,687,83 \qquad\text{et}\qquad M_{10}=2\,700$

$\boxed{\text{Léa possédera }2\,687,83\text{~€ et Marc }2\,700\text{~€}}$ C'est encore Marc qui possède le plus d'argent.

5. À la calculatrice, on compare les deux suites : $L_{11}\approx 2\,768,47<M_{11}=2\,770 \qquad\text{et}\qquad L_{12}\approx 2\,851,52>M_{12}=2\,840$

$\boxed{\text{à partir du 1}{^{\text{er}}}\text{ janvier 2037, Léa possède davantage que Marc}}$ Une évolution géométrique finit toujours par dépasser une évolution arithmétique, même si cela demande du temps.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 11 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Sommes, produits et puissances

Thèmes

suites, raison, sommes de termes, évolution en pourcentage

Notions

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