Exercice 24

Pour une somme arithmétique, on utilise : $$\text{Somme des termes}=\text{Nombre de termes}\times \frac{\text{Somme des termes extrêmes}}{2}$$ et pour une somme géométrique : $$\text{Somme des termes}=\text{Premier terme}\times \frac{1-q^{\text{Nombre de termes}}}{1-q}$$

a) $S=\dfrac{15\times 16}{2}$ d'où $\boxed{S=120}$

b) Les termes vont de $7$ à $29$, il y en a $29-7+1=23$ : $$S=23\times\frac{7+29}{2}=23\times 18 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=414}$$

c) Les termes vont de $-14$ à $5$, il y en a $5-(-14)+1=20$ : $$S=20\times\frac{-14+5}{2}=20\times(-4,5) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=-90}$$

d) Suite arithmétique de raison $3$, de $3$ à $33$ : il y a $\dfrac{33-3}{3}+1=11$ termes. $$S=11\times\frac{3+33}{2}=11\times 18 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=198}$$

e) Suite arithmétique de raison $2$, de $-1$ à $39$ : il y a $\dfrac{39-(-1)}{2}+1=21$ termes. $$S=21\times\frac{-1+39}{2}=21\times 19 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=399}$$

f) Suite arithmétique de raison $-3$, de $4$ à $-86$ : il y a $\dfrac{4-(-86)}{3}+1=31$ termes. $$S=31\times\frac{4-86}{2}=31\times(-41) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=-1\,271}$$

g) Somme géométrique de raison $2$ : $S=1+2+2^{2}+\cdots+2^{8}$, soit $9$ termes. $$S=\frac{1-2^{9}}{1-2}=2^{9}-1 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=511}$$

h) Somme géométrique de raison $-2$, de $1$ à $(-2)^{11}=-2\,048$, soit $12$ termes. $$S=\frac{1-(-2)^{12}}{1-(-2)}=\frac{1-4\,096}{3} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=-1\,365}$$

i) Somme géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$, de $1$ à $\dfrac{1}{2\,187}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{7}$, soit $8$ termes. $$S=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{8}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\times\frac{6\,560}{6\,561} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=\frac{3\,280}{2\,187}\approx 1,4998}$$

j) Somme géométrique de premier terme $10$ et de raison $-2$, de $10$ à $10\times(-2)^{9}=-5\,120$, soit $10$ termes. $$S=10\times\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=10\times\frac{1-1\,024}{3} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=-3\,410}$$

k) Somme géométrique de premier terme $3$ et de raison $\dfrac{1}{2}$, de $3$ à $3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\dfrac{3}{32}$, soit $6$ termes. $$S=3\times\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{6}}{1-\frac{1}{2}}=6\times\frac{63}{64} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=\frac{189}{32}=5,906\,25}$$

l) Somme géométrique de premier terme $\dfrac{1}{2}$ et de raison $4$, de $\dfrac{1}{2}$ à $\dfrac{1}{2}\times 4^{6}=2\,048$, soit $7$ termes. $$S=\frac{1}{2}\times\frac{1-4^{7}}{1-4}=\frac{1}{2}\times\frac{16\,383}{3} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=2\,730,5}$$