Exercice 25

1. (a) De $u_{17}=u_{1}+16r$, on tire $105=u_{1}+32$, soit $\boxed{u_{1}=73}$. Alors : $$S_{17}=17\times\frac{u_{1}+u_{17}}{2}=17\times\frac{73+105}{2}=17\times 89 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S_{17}=1\,513}$$

(b) Comme $S_{33}=33\times\dfrac{u_{1}+u_{33}}{2}=0$, on a $u_{1}+u_{33}=0$. Or $u_{33}=u_{1}+32\times(-7)=u_{1}-224$, donc : $$u_{1}+u_{1}-224=0 \iff u_{1}=112 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{u_{1}=112 \quad\text{et}\quad u_{33}=-112}$$

(c) Le premier terme s'écrit $u_{1}=u_{n}-(n-1)r=14-7(n-1)=21-7n$, d'où : $$S_{n}=n\times\frac{u_{1}+u_{n}}{2}=\frac{n(35-7n)}{2}=-1\,176$$

$$\iff 7n^{2}-35n-2\,352=0 \iff n^{2}-5n-336=0$$ Le discriminant vaut $\Delta=25+1\,344=1\,369=37^{2}$, d'où $n=\dfrac{5+37}{2}=21$ (la solution négative étant exclue) : $$\boxed{n=21 \quad\text{et}\quad u_{1}=21-147=-126}$$

2. (a) De $v_{13}=v_{10}\times q^{3}$, on tire $q^{3}=\dfrac{200}{25}=8$, soit $\boxed{q=2}$, puis : $$v_{0}=\frac{v_{10}}{2^{10}} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{v_{0}=\frac{25}{1\,024}}$$

(b) Les termes $v_{10}$, $v_{12}$, …, $v_{20}$ forment une suite géométrique de raison $q^{2}=4$, de premier terme $25$, et il y en a $6$ : $$S=25\times\frac{1-4^{6}}{1-4}=25\times\frac{4\,095}{3}=25\times 1\,365 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=34\,125}$$