Exercice 26

1. Les premiers termes valent $w_{0}=3$, $w_{1}=2$, $w_{2}=2$ et $w_{3}=4$. Les différences successives valent $-1$ puis $0$ : la suite n'est pas arithmétique. Les quotients valent $\dfrac{2}{3}$ puis $1$ : elle n'est pas géométrique non plus. $$\boxed{(w_{n})\text{ n'est ni arithmétique ni géométrique}}$$

2. (a) $u_{n+1}-u_{n}=-2(n+1)+2-(-2n+2)=-2$ : $$\boxed{\text{arithmétique de raison }-2\text{, avec }u_{0}=2}$$

(b) $\dfrac{v_{n+1}}{v_{n}}=\dfrac{2^{n+1}}{2^{n}}=2$ : $\boxed{\text{géométrique de raison }2\text{, avec }v_{0}=1}$

3. On remarque que $w_{n}=v_{n}+u_{n}$ : on peut donc séparer la somme en deux. $$S=\underbrace{\left(2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{10}\right)}_{\text{géométrique}} +\underbrace{\left(u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{10}\right)}_{\text{arithmétique}}$$ La première somme comporte $11$ termes et vaut $\dfrac{1-2^{11}}{1-2}=2\,047$. La seconde comporte également $11$ termes, de $u_{0}=2$ à $u_{10}=-18$, et vaut $11\times\dfrac{2-18}{2}=-88$. $$\boxed{S=2\,047-88=1\,959}$$