Exercice 27

Partie A.

1. Le nombre de places par rang forme une suite arithmétique de premier terme $18$ et de raison $3$. Le $25$ᵉ rang correspond à $24$ ajouts de la raison : $$18+24\times 3 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{90\text{ places}}$$

2. La salle compte $25$ rangs : $$S=25\times\frac{18+90}{2}=25\times 54 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{1\,350\text{ places}}$$

3. Avec $n$ rangs, le dernier en compte $18+3(n-1)$, et le total vaut : $$S_{n}=n\times\frac{18+18+3(n-1)}{2}=\frac{n(3n+33)}{2}$$ On cherche le plus petit entier $n$ tel que $S_{n}>1\,500$. On calcule : $$S_{26}=\frac{26\times 111}{2}=1\,443 \qquad\text{et}\qquad S_{27}=\frac{27\times 114}{2}=1\,539$$

Partie B.

1. À chaque rebond, la hauteur est multipliée par $\dfrac{3}{4}$ : $$h_{1}=2\times\frac{3}{4}=1,5 \qquad\text{et}\qquad h_{2}=1,5\times\frac{3}{4}=1,125$$

2. Comme la hauteur initiale est $2$ mètres : $$\boxed{h_{n}=2\times\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}$$

3. Pour $n=10$ : $$h_{10}=2\times\left(\frac{3}{4}\right)^{10}\approx 0,112\,6 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{h_{10}\approx 11\text{ cm}}$$

4. Il s'agit d'une somme géométrique de premier terme $h_{1}=1,5$, de raison $\dfrac{3}{4}$ et de $10$ termes : $$h_{1}+\cdots+h_{10}=1,5\times\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{10}}{1-\frac{3}{4}} =6\times\left(1-\left(\frac{3}{4}\right)^{10}\right)$$

$$\boxed{h_{1}+\cdots+h_{10}\approx 5,66\text{ mètres}}$$ Ce nombre représente la somme des hauteurs atteintes lors des dix premiers rebonds.