Exercice 28 Somme des $n$ premiers entiers carrés

1. $\boxed{u_{1}=1 \quad ; \quad u_{2}=1+4=5 \quad ; \quad u_{3}=5+9=14}$

2. Pour passer de $u_{n}$ à $u_{n+1}$, on ajoute le carré suivant : $$\boxed{u_{n+1}=u_{n}+(n+1)^{2}}$$

3. (a) $v_{1}=\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1=u_{1}$ : $\boxed{u_{1}=v_{1}}$

(b) Pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $$\begin{aligned} v_{n+1}-v_{n} &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &= \frac{(n+1)\big[(n+2)(2n+3)-n(2n+1)\big]}{6}\\ &= \frac{(n+1)\left[2n^{2}+7n+6-2n^{2}-n\right]}{6}=\frac{(n+1)(6n+6)}{6}=(n+1)^{2} \end{aligned}$$

$$\boxed{v_{n+1}=v_{n}+(n+1)^{2}}$$ La suite $(v_{n})$ vérifie donc la même relation de récurrence que $(u_{n})$.

(c) Les deux suites ont le même premier terme et la même relation de récurrence : elles calculent donc exactement les mêmes termes. $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{*},\; 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$