Exercice 29 Vers la Terminale

1. $u_{1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{0+12}=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}$, puis : $$u_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{3+12}=\frac{\sqrt{15}}{2} \qquad ; \qquad u_{3}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{4}+12}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{63}{4}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$$

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, en élevant la relation de récurrence au carré : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1}^{2}-4=\frac{1}{4}\left(u_{n}^{2}+12\right)-4\\ &= \frac{1}{4}u_{n}^{2}+3-4=\frac{1}{4}u_{n}^{2}-1=\frac{1}{4}\left(u_{n}^{2}-4\right) \end{aligned}$$

3. Son premier terme vaut $v_{0}=u_{0}^{2}-4=-4$, d'où : $$\boxed{v_{n}=-4\left(\frac{1}{4}\right)^{n}}$$

4. Comme $u_{n}^{2}=v_{n}+4$ : $$u_{n}^{2}=4-4\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=4\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right)$$ La suite étant positive, on prend la racine carrée : $$\boxed{u_{n}=2\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}}}$$

5. Lorsque $n$ grandit, $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}$ devient très petit, et le contenu de la racine se rapproche de $1$ : $$\boxed{\text{on conjecture que }u_{n}\text{ se rapproche de }2}$$