Exercice 30 Construction géométrique

1. Le triangle $OA_{0}A_{1}$ est rectangle en $A_{1}$, et l'angle en $O$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$. La trigonométrie dans ce triangle rectangle donne : $$OA_{1}=OA_{0}\times\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{OA_{0}}{2} \qquad\text{et}\qquad A_{0}A_{1}=OA_{0}\times\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\,OA_{0}$$ Le même raisonnement s'applique à chaque triangle $OA_{n-1}A_{n}$, rectangle en $A_{n}$ : $$OA_{n}=\frac{OA_{n-1}}{2} \qquad\text{et}\qquad v_{n}=A_{n-1}A_{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,OA_{n-1}$$ Les longueurs $OA_{n}$ étant divisées par $2$ à chaque étape, il en va de même des $v_{n}$ : $$\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{OA_{n}}{OA_{n-1}}=\frac{1}{2}$$

2. La suite $(u_{n})$ est la somme des $n$ premiers termes de $(v_{n})$ : $$u_{n}=v_{1}\times\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-\frac{1}{2}} =2\sqrt{3}\times 2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)$$

3. Lorsque $n$ grandit, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ devient très petit : $$\boxed{\text{on conjecture que }u_{n}\text{ se rapproche de }4\sqrt{3}\approx 6,93}$$ La ligne brisée rouge, bien qu'elle comporte une infinité de segments, a donc une longueur totale finie.