Exercice 20

1. En écrivant $u_{n+1}=u_{n}q$ et $u_{n+2}=u_{n}q^{2}$, la relation devient : $$u_{n}q^{2}=u_{n}q+u_{n}$$ Les termes étant non nuls, on peut diviser par $u_{n}$ : $$q^{2}=q+1 \iff q^{2}-q-1=0$$ Le discriminant vaut $\Delta=1+4=5$, d'où les solutions $\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. Comme $q>0$ : $$\boxed{q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ On reconnaît le nombre d'or.

2. (a) Les termes sont tous négatifs, donc le quotient de deux termes consécutifs est positif : la raison est positive. De plus la suite est croissante, donc les termes se rapprochent de $0$ en valeur absolue : $$\boxed{0<q<1}$$

(b) Comme $v_{1}\times v_{3}=v_{1}\times v_{1}q^{2}=\left(v_{1}q\right)^{2}=v_{2}^{2}$, on a $v_{2}^{2}=\dfrac{4}{9}$, et comme les termes sont négatifs : $v_{2}=-\dfrac{2}{3}$. Alors : $$v_{1}+v_{3}=-\frac{19}{9}+\frac{2}{3}=-\frac{13}{9} \qquad\text{et}\qquad v_{1}\times v_{3}=\frac{4}{9}$$ Les nombres $v_{1}$ et $v_{3}$ sont donc les solutions de $9X^{2}+13X+4=0$, dont le discriminant vaut $\Delta=169-144=25$ : ce sont $-1$ et $-\dfrac{4}{9}$. La suite étant croissante : $$\boxed{v_{1}=-1 \quad ; \quad v_{2}=-\frac{2}{3} \quad ; \quad v_{3}=-\frac{4}{9}}$$

(c) La raison vaut $q=\dfrac{v_{2}}{v_{1}}=\dfrac{2}{3}$, d'où : $$\boxed{v_{n}=-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}$$