Exercice 1

Dans un tableau d'effectifs, une probabilité conditionnelle se lit comme une proportion : on se restreint à la ligne (ou à la colonne) correspondant à l'événement qui conditionne, et c'est son effectif qui devient le dénominateur.

1. On divise l'effectif concerné par l'effectif total, qui vaut $400$ : $$P(C)=\frac{120}{400}=\boxed{0{,}3} \qquad P(F)=\frac{180}{400}=\boxed{0{,}45} \qquad P(C\cap F)=\frac{48}{400}=\boxed{0{,}12}$$

2. On se restreint à la colonne des cadres, qui compte $120$ salariés : $$P_{C}(F)=\frac{48}{120}=\boxed{0{,}4}$$

3. On se restreint cette fois à la ligne des femmes, qui compte $180$ salariées : $$P_{F}(C)=\frac{48}{180}=\boxed{\frac{4}{15}\approx 0{,}267}$$ Les deux résultats diffèrent car ils ne portent pas sur la même population de référence : le premier compare $48$ femmes cadres aux $120$ cadres, le second aux $180$ femmes. $$\boxed{\text{En général, } P_{C}(F)\neq P_{F}(C).}$$

4. On se restreint à la colonne des non-cadres, qui compte $280$ salariés : $$P_{\overline{C}}(F)=\frac{132}{280}=\boxed{\frac{33}{70}\approx 0{,}471}$$

5. On compare $P(C\cap F)$ et $P(C)\times P(F)$ : $$P(C)\times P(F)=0{,}3\times 0{,}45=0{,}135 \qquad\text{alors que}\qquad P(C\cap F)=0{,}12$$

$$\boxed{0{,}135\neq 0{,}12 \text{ : les événements } C \text{ et } F \text{ ne sont pas indépendants.}}$$ On le voyait déjà aux questions 2 et 4 : la proportion de femmes n'est pas la même chez les cadres ($40\,\%$) et chez les non-cadres ($47{,}1\,\%$).