ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Tableaux à double entrée

Exercice 2

Calcul

Un sondage a été mené auprès de $250$ personnes sur leur usage du vélo.

	Usage régulier	Usage rare	Total
Habite en ville	$84$	$66$	$150$
Habite hors de la ville	$26$	$74$	$100$
Total	$110$	$140$	$250$

On interroge au hasard une des personnes sondées. On note $V$ l'événement « la personne utilise régulièrement le vélo » et $U$ l'événement « la personne habite en ville ».

1. Calculer $P(V)$ , $P(U)$ et $P(U\cap V)$ .

2. Calculer $P_{U}(V)$ et $P_{\overline{U}}(V)$ . Comparer ces deux nombres et commenter.

3. Calculer $P_{V}(U)$ .

4. Vérifier que $P(V)=P(U)\times P_{U}(V)+P(\overline{U})\times P_{\overline{U}}(V)$ .

5. Les événements $U$ et $V$ sont-ils indépendants ?

Corrigé

1. $P(V)=\dfrac{110}{250}=\boxed{0{,}44}$ $P(U)=\dfrac{150}{250}=\boxed{0{,}6}$ $P(U\cap V)=\dfrac{84}{250}=\boxed{0{,}336}$

2. $P_{U}(V)=\dfrac{84}{150}=\boxed{0{,}56}$ et $P_{\overline{U}}(V)=\dfrac{26}{100}=\boxed{0{,}26}$ $\boxed{\text{Les citadins sont bien plus nombreux, en proportion, à utiliser régulièrement le vélo.}}$

3. $P_{V}(U)=\dfrac{84}{110}=\boxed{\dfrac{42}{55}\approx 0{,}764}$

4. $P(U)\times P_{U}(V)+P(\overline{U})\times P_{\overline{U}}(V) =0{,}6\times 0{,}56+0{,}4\times 0{,}26=0{,}336+0{,}104=0{,}44$ $\boxed{\text{On retrouve bien } P(V)=0{,}44.}$ C'est la formule des probabilités totales, que l'on démontrera au paragraphe suivant : la population se partage entre citadins et non-citadins.

5. $P(U)\times P(V)=0{,}6\times 0{,}44=0{,}264$ , alors que $P(U\cap V)=0{,}336$ : $\boxed{\text{les événements ne sont pas indépendants.}}$

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 1 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus

Thèmes

probabilité conditionnelle, tableau à double entrée, indépendance

Notions

espace probabilisé, indépendance