Exercice 6

1. Les deux branches issues du nœud $A$ mènent à $B$ et à $\overline{B}$, et la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ : $$P_{A}(\overline{B})=1-P_{A}(B)=1-0{,}4=\boxed{0{,}6}$$

2. $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=0{,}7\times 0{,}4=\boxed{0{,}28}$

$P(A\cap\overline{B})=P(A)\times P_{A}(\overline{B})=0{,}7\times 0{,}6=\boxed{0{,}42}$

3. $0{,}28+0{,}42=0{,}7=P(A)$. C'était prévisible : les événements $A\cap B$ et $A\cap\overline{B}$ sont incompatibles et leur réunion est exactement $A$, puisque $B$ est réalisé ou ne l'est pas.

4. $P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}28}{0{,}55} =\boxed{\dfrac{28}{55}\approx 0{,}509}$

5. $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}55-0{,}28=\boxed{0{,}27}$

6. $P(\overline{A})=1-0{,}7=0{,}3$, donc $P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{0{,}27}{0{,}3}=\boxed{0{,}9}$