ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · La formule des probabilités conditionnelles

Exercice 7

Calcul

L'objectif de cet exercice est la formule de Bayes, rencontrée dans l'introduction historique du cours.

1. Écrire de deux façons différentes la probabilité $P(A\cap B)$ , à l'aide de la formule des probabilités conditionnelles.

2. En déduire que, si $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$ : $P_{A}(B)=\frac{P(B)\times P_{B}(A)}{P(A)}$

3. Appliquer cette formule dans chacun des cas suivants :

(a) $P(A)=0{,}4$ , $P(B)=0{,}5$ et $P_{B}(A)=0{,}6$  ; calculer $P_{A}(B)$ .

(b) $P(A)=0{,}25$ , $P(B)=0{,}2$ et $P_{B}(A)=0{,}5$  ; calculer $P_{A}(B)$ .

(c) $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}3$ et $P_{A}(B)=0{,}4$  ; calculer $P_{B}(A)$ .

4. Que devient cette formule lorsque $A$ et $B$ sont indépendants ?

Corrigé

1. En appliquant la formule dans les deux sens : $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B) \qquad\text{et}\qquad P(A\cap B)=P(B)\times P_{B}(A)$

2. Ces deux expressions désignent le même nombre, donc $P(A)\times P_{A}(B)=P(B)\times P_{B}(A)$ et en divisant les deux membres par $P(A)$ , qui est non nul : $\boxed{P_{A}(B)=\frac{P(B)\times P_{B}(A)}{P(A)}}$

3. (a) $P_{A}(B)=\dfrac{0{,}5\times 0{,}6}{0{,}4}=\dfrac{0{,}3}{0{,}4}=\boxed{0{,}75}$

(b) $P_{A}(B)=\dfrac{0{,}2\times 0{,}5}{0{,}25}=\dfrac{0{,}1}{0{,}25}=\boxed{0{,}4}$

(c) $P_{B}(A)=\dfrac{0{,}6\times 0{,}4}{0{,}3}=\dfrac{0{,}24}{0{,}3}=\boxed{0{,}8}$

4. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P_{B}(A)=P(A)$ et la formule devient $P_{A}(B)=\frac{P(B)\times P(A)}{P(A)}=P(B)$

\boxed{\text{On retrouve la caractérisation de l'indépendance : } P_{A}(B)=P(B).}

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 4 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus

Thèmes

probabilités, probabilité conditionnelle, indépendance

Notions

espace probabilisé, indépendance