ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Arbres pondérés et probabilités totales

Exercice 9

DémonstrationCalcul

On considère l'arbre pondéré incomplet ci-dessous.

1. Recopier et compléter l'arbre. On justifiera chacune des trois probabilités manquantes.

2. Traduire par une phrase la probabilité $P_{A}(B)=0{,}8$ .

3. Calculer $P(A\cap B)$ , $P(A\cap\overline{B})$ , $P(\overline{A}\cap B)$ et $P(\overline{A}\cap\overline{B})$ .

4. Vérifier que la somme de ces quatre probabilités vaut $1$ . Pourquoi était-ce prévisible ?

5. En déduire $P(B)$ .

Corrigé

1. Les trois probabilités manquantes s'obtiennent par la loi des nœuds : la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut $1$ . $P(\overline{A})=1-0{,}3=0{,}7 \qquad P_{A}(\overline{B})=1-0{,}8=0{,}2 \qquad P_{\overline{A}}(\overline{B})=1-0{,}25=0{,}75$

2. $P_{A}(B)=0{,}8$ signifie : $\boxed{\text{sachant que } A \text{ est réalisé, la probabilité que } B \text{ le soit aussi vaut } 0{,}8.}$

3. Le produit des probabilités portées par un chemin donne la probabilité de l'intersection : $P(A\cap B)=0{,}3\times 0{,}8=\boxed{0{,}24} \qquad P(A\cap\overline{B})=0{,}3\times 0{,}2=\boxed{0{,}06}$

P(\overline{A}\cap B)=0{,}7\times 0{,}25=\boxed{0{,}175} \qquad P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}7\times 0{,}75=\boxed{0{,}525}

4. $0{,}24+0{,}06+0{,}175+0{,}525=1$ .

C'était prévisible : les quatre chemins correspondent à quatre événements incompatibles deux à deux, dont la réunion est l'univers tout entier — l'une des quatre situations se produit nécessairement.

5. $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=0{,}24+0{,}175=\boxed{0{,}415}$

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

probabilités, probabilité conditionnelle, arbre pondéré

Notions

espace probabilisé