ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Arbres pondérés et probabilités totales

Exercice 10

Calcul

Dans une usine, $60\,\%$ des pièces produites proviennent de la machine $A$ , le reste de la machine $B$ . On constate que $3\,\%$ des pièces issues de $A$ sont défectueuses, contre $5\,\%$ de celles issues de $B$ .

On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $A$ l'événement « la pièce provient de la machine $A$  » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide des notations du cours.

2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. Calculer la probabilité qu'une pièce provienne de $A$ et soit défectueuse.

4. Calculer $P(\overline{A}\cap D)$ .

5. En déduire la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse.

Corrigé

1. $\boxed{P(A)=0{,}6 \qquad P_{A}(D)=0{,}03 \qquad P_{\overline{A}}(D)=0{,}05}$

Attention : les taux de $3\,\%$ et $5\,\%$ portent sur les pièces d'une machine donnée : ce sont bien des probabilités conditionnelles, et non $P(A\cap D)$ .

3. $P(A\cap D)=0{,}6\times 0{,}03=\boxed{0{,}018}$

4. $P(\overline{A}\cap D)=0{,}4\times 0{,}05=\boxed{0{,}02}$

5. D'après la formule des probabilités totales : $P(D)=P(A\cap D)+P(\overline{A}\cap D)=0{,}018+0{,}02=\boxed{0{,}038}$

$\boxed{\text{Environ } 3{,}8\,\% \text{ des pièces produites sont défectueuses.}}$ On remarque que ce taux global est compris entre $3\,\%$ et $5\,\%$ : c'est une moyenne des deux taux, pondérée par les parts de production.

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 5 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

probabilités, arbre pondéré

Notions

espace probabilisé