ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Arbres pondérés et probabilités totales

Exercice 11

Calcul

On considère l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Calculer les probabilités des quatre chemins de l'arbre.

2. En déduire $P(B)$ , puis $P(\overline{B})$ de deux façons différentes.

3. Calculer $P_{B}(A)$ .

4. Comparer $P_{A}(B)$ et $P(B)$ . Que peut-on en conclure sur les événements $A$ et $B$  ?

Corrigé

1. On multiplie le long de chaque chemin : $P(A\cap B)=0{,}45\times 0{,}6=\boxed{0{,}27} \qquad P(A\cap\overline{B})=0{,}45\times 0{,}4=\boxed{0{,}18}$

P(\overline{A}\cap B)=0{,}55\times 0{,}2=\boxed{0{,}11} \qquad P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}55\times 0{,}8=\boxed{0{,}44}

2. $P(B)=0{,}27+0{,}11=\boxed{0{,}38}$

Première méthode : $P(\overline{B})=1-P(B)=1-0{,}38=0{,}62$ .

Seconde méthode : $P(\overline{B})=0{,}18+0{,}44=0{,}62$ . Les deux méthodes concordent.

3. $P_{B}(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}27}{0{,}38} =\boxed{\dfrac{27}{38}\approx 0{,}711}$

4. $P_{A}(B)=0{,}6$ tandis que $P(B)=0{,}38$ : $\boxed{P_{A}(B)\neq P(B) \text{ : les événements } A \text{ et } B \text{ ne sont pas indépendants.}}$ Savoir que $A$ est réalisé augmente nettement la probabilité de $B$ .

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 6 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

probabilités, probabilité conditionnelle, arbre pondéré

Notions

espace probabilisé