ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Arbres pondérés et probabilités totales

Exercice 13

DémonstrationCalcul

Une entreprise s'approvisionne en composants auprès de trois fournisseurs. Le fournisseur $F_{1}$ livre $50\,\%$ des composants, $F_{2}$ en livre $30\,\%$ et $F_{3}$ le reste. Les taux de pièces défectueuses sont respectivement de $2\,\%$ , $4\,\%$ et $6\,\%$ .

On prélève un composant au hasard et l'on note $D$ l'événement « le composant est défectueux ».

1. Justifier que les événements $F_{1}$ , $F_{2}$ et $F_{3}$ forment une partition de l'univers.

2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. Il comportera trois branches au premier niveau.

3. Calculer $P(F_{1}\cap D)$ , $P(F_{2}\cap D)$ et $P(F_{3}\cap D)$ .

4. En déduire $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

5. Un composant prélevé se révèle défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne du fournisseur $F_{1}$ , puis de $F_{2}$ , puis de $F_{3}$ .

6. Vérifier que la somme des trois probabilités précédentes vaut $1$ , et expliquer pourquoi.

Corrigé

1. Tout composant provient d'exactement un des trois fournisseurs : les événements $F_{1}$ , $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers. De plus $0{,}5+0{,}3+0{,}2=1$ . $\boxed{\text{Ils forment bien une partition de } \Omega.}$

3. $P(F_{1}\cap D)=0{,}5\times 0{,}02=\boxed{0{,}01}$ $P(F_{2}\cap D)=0{,}3\times 0{,}04=\boxed{0{,}012}$

$P(F_{3}\cap D)=0{,}2\times 0{,}06=\boxed{0{,}012}$

4. $P(D)=0{,}01+0{,}012+0{,}012=\boxed{0{,}034}$

5. On applique la formule des probabilités conditionnelles avec $P(D)=0{,}034$ : $P_{D}(F_{1})=\frac{0{,}01}{0{,}034}=\boxed{\frac{5}{17}\approx 0{,}294}$

P_{D}(F_{2})=\frac{0{,}012}{0{,}034}=\boxed{\frac{6}{17}\approx 0{,}353} \qquad P_{D}(F_{3})=\frac{0{,}012}{0{,}034}=\boxed{\frac{6}{17}\approx 0{,}353}

6. $\dfrac{5}{17}+\dfrac{6}{17}+\dfrac{6}{17}=\dfrac{17}{17}=1$ .

C'est logique : sachant que le composant est défectueux, il provient nécessairement de l'un des trois fournisseurs. Les trois probabilités conditionnelles forment donc, elles aussi, une loi de probabilité. $\boxed{\begin{array}{l} \text{le fournisseur } F_{1} \text{ livre la moitié des composants,} \\[1mm] \text{mais n'est responsable que de } 29{,}4\,\% \text{ des défauts.} \end{array}}$

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Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

probabilités, arbre pondéré, probabilités totales

Notions

espace probabilisé