Exercice 14

1. L'exercice 10 a donné $\boxed{P(D)=0{,}038}$.

2. $P_{D}(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}018}{0{,}038} =\boxed{\dfrac{9}{19}\approx 0{,}474}$

3. $P_{D}(\overline{A})=\dfrac{0{,}02}{0{,}038}=\dfrac{10}{19}\approx 0{,}526$, et l'on vérifie que $\dfrac{9}{19}+\dfrac{10}{19}=1$ : une pièce défectueuse provient nécessairement de $A$ ou de $B$.

4. $P(\overline{D})=1-0{,}038=0{,}962$ et $P(A\cap\overline{D})=0{,}6\times 0{,}97=0{,}582$, donc $$P_{\overline{D}}(A)=\frac{0{,}582}{0{,}962}=\boxed{\frac{291}{481}\approx 0{,}605}$$

5. L'arbre inversé porte $D$ et $\overline{D}$ au premier niveau :

6. $P_{D}(A)\approx 0{,}474$ alors que $P(A)=0{,}6$ : $$\boxed{\text{Oui : savoir que la pièce est défectueuse rend la machine } A \text{ moins probable.}}$$ C'est cohérent, puisque $A$ est la machine la plus fiable des deux. On passe de « six chances sur dix » à « un peu moins d'une sur deux ».