ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Arbres pondérés et probabilités totales

Exercice 15

Calcul

Dans une ville, $30\,\%$ des habitants sont abonnés au réseau de transports en commun. Parmi les abonnés, $85\,\%$ utilisent le bus au moins une fois par semaine ; parmi les non-abonnés, cette proportion n'est que de $20\,\%$ .

On interroge un habitant au hasard. On note $A$ l'événement « l'habitant est abonné » et $U$ l'événement « l'habitant utilise le bus au moins une fois par semaine ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité que l'habitant interrogé soit abonné et utilise le bus.

3. Calculer $P(U)$ .

4. L'habitant interrogé utilise le bus au moins une fois par semaine. Quelle est la probabilité qu'il soit abonné ?

5. L'habitant interrogé n'utilise pas le bus. Quelle est la probabilité qu'il soit tout de même abonné ?

Corrigé

2. $P(A\cap U)=0{,}3\times 0{,}85=\boxed{0{,}255}$

3. $P(U)=0{,}255+0{,}7\times 0{,}2=0{,}255+0{,}14=\boxed{0{,}395}$

4. $P_{U}(A)=\dfrac{0{,}255}{0{,}395}=\boxed{\dfrac{51}{79}\approx 0{,}646}$

5. $P(\overline{U})=1-0{,}395=0{,}605$ et $P(A\cap\overline{U})=0{,}3\times 0{,}15=0{,}045$ , donc $P_{\overline{U}}(A)=\frac{0{,}045}{0{,}605}=\boxed{\frac{9}{121}\approx 0{,}074}$ Interprétation : parmi ceux qui n'utilisent pas le bus, moins de $8\,\%$ sont pourtant abonnés — un abonnement qu'ils n'utilisent guère.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 8 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

probabilités, arbre pondéré

Notions

espace probabilisé