ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Indépendance

Exercice 16

DémonstrationCalcul

Voici la répartition de $200$ personnes selon deux caractères.

	$B$	$\overline{B}$	Total
$A$	$20$	$60$	$80$
$\overline{A}$	$30$	$90$	$120$
Total	$50$	$150$	$200$

1. Calculer $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A\cap B)$ .

2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

3. Vérifier votre réponse en comparant cette fois $P_{A}(B)$ et $P(B)$ .

4. On remplace maintenant l'effectif $20$ par $25$ , en ajustant les autres cases pour que les totaux des lignes et des colonnes soient inchangés. Recopier le nouveau tableau, puis dire si $A$ et $B$ sont encore indépendants.

Corrigé

1. $P(A)=\dfrac{80}{200}=\boxed{0{,}4}$ $P(B)=\dfrac{50}{200}=\boxed{0{,}25}$ $P(A\cap B)=\dfrac{20}{200}=\boxed{0{,}1}$

2. $P(A)\times P(B)=0{,}4\times 0{,}25=0{,}1=P(A\cap B)$ : $\boxed{\text{les événements } A \text{ et } B \text{ sont indépendants.}}$

3. $P_{A}(B)=\dfrac{20}{80}=0{,}25=P(B)$ : on retrouve bien la même conclusion.

Autrement dit : la proportion de $B$ est la même dans la ligne $A$ ( $20$ sur $80$ ) que dans la population entière ( $50$ sur $200$ ).

4. En conservant les totaux, le nouveau tableau est :

	$B$	$\overline{B}$	Total
$A$	$25$	$55$	$80$
$\overline{A}$	$25$	$95$	$120$
Total	$50$	$150$	$200$

Cette fois $P(A\cap B)=\dfrac{25}{200}=0{,}125$ , alors que $P(A)\times P(B)=0{,}1$ : $\boxed{\text{les événements ne sont plus indépendants.}}$ Il a suffi de déplacer cinq personnes pour rompre l'indépendance : celle-ci est une égalité exacte, et non une tendance.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 9 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus

Thèmes

probabilité conditionnelle, probabilités totales, tableau à double entrée, indépendance

Notions

espace probabilisé, indépendance