Exercice 25

On ajoute une ligne $x_{i}^{2}$ au tableau, puis on applique $V(X)=E\left[X^{2}\right]-\left(E[X]\right)^{2}$.

1. $E\left[X^{2}\right]=1\times 0{,}2+4\times 0{,}5+9\times 0{,}3=0{,}2+2+2{,}7=4{,}9$ $$V(X)=4{,}9-2{,}1^{2}=4{,}9-4{,}41=\boxed{0{,}49} \qquad\text{d'où}\qquad \sigma(X)=\sqrt{0{,}49}=\boxed{0{,}7}$$

2. $E\left[X^{2}\right]=25\times 0{,}4+0+100\times 0{,}25=10+25=35$ $$V(X)=35-0{,}5^{2}=\boxed{34{,}75} \qquad\text{d'où}\qquad \sigma(X)=\sqrt{34{,}75}\approx\boxed{5{,}89}$$

3. $E\left[X^{2}\right]=0+1\times\dfrac{3}{8}+4\times\dfrac{3}{8}+9\times\dfrac{1}{8} =\dfrac{0+3+12+9}{8}=3$ $$V(X)=3-1{,}5^{2}=3-2{,}25=\boxed{0{,}75} \qquad\text{d'où}\qquad \sigma(X)=\sqrt{0{,}75}\approx\boxed{0{,}87}$$

4. $E\left[X^{2}\right]=9\times 0{,}1+1\times 0{,}4+4\times 0{,}3+36\times 0{,}2 =0{,}9+0{,}4+1{,}2+7{,}2=9{,}7$ $$V(X)=9{,}7-1{,}1^{2}=9{,}7-1{,}21=\boxed{8{,}49} \qquad\text{d'où}\qquad \sigma(X)=\sqrt{8{,}49}\approx\boxed{2{,}91}$$

$$\boxed{\text{La deuxième loi est de loin la plus dispersée : } \sigma\approx 5{,}89.}$$ C'est cohérent avec ses valeurs, qui s'étalent de $-5$ à $10$, alors que la première ne prend que les valeurs $1$, $2$ et $3$.