ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Espérance, variance et écart-type

Exercice 24

Calcul

Pour chacune des lois de probabilité suivantes, calculer l'espérance $E[X]$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x_{i}) & 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & -5 & 0 & 10 \\ \hline P(X=x_{i}) & 0{,}4 & 0{,}35 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \\ \hline \end{array}

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & -3 & -1 & 2 & 6 \\ \hline P(X=x_{i}) & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}

Interpréter le résultat obtenu pour la deuxième loi, en imaginant qu'il s'agit du gain d'un jeu.

Corrigé

On applique $E[X]=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots+p_{n}x_{n}$ : on multiplie entre elles les deux valeurs de chaque colonne, puis on additionne le tout.

1. $E[X]=1\times 0{,}2+2\times 0{,}5+3\times 0{,}3=0{,}2+1+0{,}9=\boxed{2{,}1}$

2. $E[X]=-5\times 0{,}4+0\times 0{,}35+10\times 0{,}25=-2+0+2{,}5=\boxed{0{,}5}$

3. $E[X]=0\times\dfrac{1}{8}+1\times\dfrac{3}{8}+2\times\dfrac{3}{8}+3\times\dfrac{1}{8} =\dfrac{0+3+6+3}{8}=\dfrac{12}{8}=\boxed{1{,}5}$

4. $E[X]=-3\times 0{,}1-1\times 0{,}4+2\times 0{,}3+6\times 0{,}2 =-0{,}3-0{,}4+0{,}6+1{,}2=\boxed{1{,}1}$

Interprétation de la deuxième loi. Si $X$ représentait le gain d'un jeu, l'espérance $0{,}5$ signifierait qu'en répétant l'expérience un très grand nombre de fois, le joueur peut espérer gagner en moyenne $0{,}5$ € par partie. Le jeu serait donc favorable au joueur — et non à l'organisateur.

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Espérance, variance et inégalités

Thèmes

probabilités, espérance, jeu et gain

Notions

espace probabilisé, espérance