ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Variable aléatoire et loi de probabilité

Exercice 23

Calcul

Une urne contient $5$ jetons numérotés $1$ , $1$ , $2$ , $3$ et $3$ . On tire un jeton au hasard, on note son numéro, on le remet dans l'urne, puis on en tire un second. On note $X$ la somme des deux numéros obtenus.

1. Déterminer la loi de probabilité du numéro obtenu lors d'un tirage.

2. Construire un arbre pondéré décrivant les deux tirages. On pourra se limiter aux trois numéros possibles à chaque niveau.

3. Quelles sont les valeurs prises par $X$  ?

4. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

5. Calculer $P(X=4)$ de deux façons différentes.

Corrigé

1. L'urne contient $5$ jetons : deux portent le $1$ , un le $2$ , deux le $3$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Numéro} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{Probabilité} & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \hline \end{array}

2. Le jeton étant remis, le second tirage suit exactement la même loi que le premier : les neuf chemins portent, au second niveau, les mêmes probabilités $\frac{2}{5}$ , $\frac{1}{5}$ et $\frac{2}{5}$ qu'au premier.

3. La somme de deux numéros compris entre $1$ et $3$ vaut au minimum $2$ et au maximum $6$ : $\boxed{X \text{ prend les valeurs } 2,\ 3,\ 4,\ 5 \text{ et } 6.}$

4. On additionne les probabilités des chemins conduisant à chaque valeur : $P(X=2)=\tfrac{2}{5}\times\tfrac{2}{5}=\tfrac{4}{25} \qquad P(X=3)=2\times\tfrac{2}{5}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{25}$

P(X=4)=2\times\tfrac{2}{5}\times\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5}\times\tfrac{1}{5} =\tfrac{8}{25}+\tfrac{1}{25}=\tfrac{9}{25}

P(X=5)=2\times\tfrac{1}{5}\times\tfrac{2}{5}=\tfrac{4}{25} \qquad P(X=6)=\tfrac{2}{5}\times\tfrac{2}{5}=\tfrac{4}{25}

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{4}{25} & \frac{4}{25} & \frac{9}{25} & \frac{4}{25} & \frac{4}{25} \\ \hline \end{array}

La somme vaut $\dfrac{4+4+9+4+4}{25}=\dfrac{25}{25}=1$ .

5. Première méthode : en additionnant les chemins, comme ci-dessus, on trouve $\dfrac{9}{25}$ .

Seconde méthode : par événement contraire, $P(X=4)=1-\big(P(X=2)+P(X=3)+P(X=5) +P(X=6)\big)=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$ . $\boxed{P(X=4)=\dfrac{9}{25}}$

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition

Thèmes

probabilités, arbre pondéré, loi de probabilité, urne

Notions

espace probabilisé, loi (d'une variable aléatoire)