ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Variable aléatoire et loi de probabilité

Exercice 22

Calcul

Voici la loi de probabilité, incomplète, d'une variable aléatoire $X$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & -2 & 0 & 1 & 4 \\ \hline P(X=x_{i}) & 0{,}15 & a & 0{,}3 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}

1. Déterminer la valeur du réel $a$ . Quelle propriété permet de conclure ?

2. Calculer $P(X\leqslant 0)$ et $P(X>0)$ .

3. Une autre variable aléatoire $Y$ prend les valeurs $-1$ , $2$ et $x$ avec les probabilités respectives $0{,}5$ , $0{,}3$ et $0{,}2$ . Déterminer $x$ pour que l'on ait $E[Y]=1$ .

Corrigé

1. La somme des probabilités d'une loi vaut $1$ : $0{,}15+a+0{,}3+0{,}25=1 \iff a+0{,}7=1 \iff \boxed{a=0{,}3}$

2. $P(X\leqslant 0)=P(X=-2)+P(X=0)=0{,}15+0{,}3=\boxed{0{,}45}$

$P(X>0)=P(X=1)+P(X=4)=0{,}3+0{,}25=\boxed{0{,}55}$ , ce qui vérifie bien $0{,}45+0{,}55=1$ .

3. On écrit l'espérance de $Y$ en fonction de $x$ : $E[Y]=(-1)\times 0{,}5+2\times 0{,}3+x\times 0{,}2=-0{,}5+0{,}6+0{,}2x=0{,}1+0{,}2x$ La condition $E[Y]=1$ donne : $0{,}1+0{,}2x=1 \iff 0{,}2x=0{,}9 \iff \boxed{x=4{,}5}$

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Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition

Thèmes

probabilités, variable aléatoire, loi de probabilité

Notions

espace probabilisé, variable aléatoire, loi (d'une variable aléatoire)