ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Variable aléatoire et loi de probabilité

Exercice 21

Calcul

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce équilibrée. Le joueur gagne $4$ € pour chaque « Face » obtenue et perd $2$ € pour chaque « Pile ». On note $X$ le gain algébrique du joueur à l'issue des deux lancers.

1. Construire un arbre décrivant les quatre issues possibles, en indiquant le gain associé à chacune.

2. Quelles sont les valeurs prises par $X$  ?

3. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et la présenter dans un tableau.

4. Calculer $P(X\geqslant 2)$ , puis $P(X<0)$ .

Corrigé

1. Chaque lancer donne $F$ ou $P$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ , et l'on inscrit au bout de chaque chemin le gain correspondant :

2. Deux « Face » rapportent $8$ €, une seule rapporte $4-2=2$ €, et deux « Pile » font perdre $4$ € : $\boxed{X \text{ prend les valeurs } -4,\ 2 \text{ et } 8.}$

3. Un seul chemin mène à $8$ , un seul à $-4$ , mais deux mènent à $2$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & -4 & 2 & 8 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array}

4. $P(X\geqslant 2)=P(X=2)+P(X=8)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\boxed{\dfrac{3}{4}}$

$P(X<0)=P(X=-4)=\boxed{\dfrac{1}{4}}$

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 12 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

probabilités, arbre pondéré, tableau à double entrée, loi de probabilité, jeu et gain

Notions

espace probabilisé, loi (d'une variable aléatoire)