ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Variable aléatoire et loi de probabilité

Exercice 20

Calcul

Dans chacune des situations suivantes, déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ , que l'on présentera dans un tableau. On vérifiera à chaque fois que la somme des probabilités vaut $1$ .

1. On lance un dé équilibré à six faces et $X$ désigne le numéro obtenu.

2. On lance un dé équilibré à six faces. Le joueur gagne $3$ € s'il obtient un $6$ , gagne $1$ € s'il obtient $2$ ou $4$ , et perd $1$ € sinon. $X$ désigne le gain algébrique du joueur.

3. On lance deux fois une pièce équilibrée et $X$ désigne le nombre de « Face » obtenus.

4. Une urne contient $3$ boules rouges, $2$ boules vertes et $1$ boule bleue. On tire une boule au hasard. Le joueur gagne $2$ € pour une rouge, $5$ € pour une verte et $10$ € pour la bleue. $X$ désigne le gain.

Corrigé

1. Le dé étant équilibré, chacune des six faces a la même probabilité $\dfrac{1}{6}$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}

La somme vaut $6\times\dfrac{1}{6}=1$ .

2. Le gain vaut $3$ pour une seule face, $1$ pour deux faces ( $2$ et $4$ ), et $-1$ pour les trois autres ( $1$ , $3$ et $5$ ) :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & -1 & 1 & 3 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}

La somme vaut $\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=1$ .

3. Les quatre issues $PP$ , $PF$ , $FP$ , $FF$ sont équiprobables, de probabilité $\dfrac{1}{4}$ , et $X$ vaut respectivement $0$ , $1$ , $1$ et $2$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \hline \end{array}

4. L'urne contient $6$ boules : $3$ rouges, $2$ vertes et $1$ bleue.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & 2 & 5 & 10 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}

On remarque que cette loi et celle de la question 2 portent les mêmes probabilités : seules les valeurs changent.

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 11 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

probabilités, tableau à double entrée, variable aléatoire, loi de probabilité, jeu et gain, urne

Notions

espace probabilisé, variable aléatoire, loi (d'une variable aléatoire)