Exercice 19

1. Les événements $A\cap B$ et $A\cap\overline{B}$ sont incompatibles, et leur réunion est $A$ tout entier. Donc $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$, d'où $$\boxed{P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)}$$

2. Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$, donc $$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A)\times P(B)=P(A)\big(1-P(B)\big)=P(A)\times P(\overline{B})$$

$$\boxed{\text{Les événements } A \text{ et } \overline{B} \text{ sont donc indépendants eux aussi.}}$$ En appliquant deux fois ce résultat, on obtient également l'indépendance de $\overline{A}$ et $B$, puis celle de $\overline{A}$ et $\overline{B}$.

3. Avec $P(A)=0{,}3$ et $P(B)=0{,}6$ : $$P(A\cap B)=0{,}3\times 0{,}6=\boxed{0{,}18} \qquad P(A\cap\overline{B})=0{,}3\times 0{,}4=\boxed{0{,}12}$$

$$P(\overline{A}\cap B)=0{,}7\times 0{,}6=\boxed{0{,}42} \qquad P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}7\times 0{,}4=\boxed{0{,}28}$$ et la somme vaut $0{,}18+0{,}12+0{,}42+0{,}28=1$.

4. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}3+0{,}6-0{,}18=\boxed{0{,}72}$