Exercice 18

1. L'indépendance s'écrit $P(A)\times P(B)=P(A\cap B)$, soit $$0{,}4\times P(B)=0{,}1 \iff \boxed{P(B)=0{,}25}$$

2. De même $P(A)\times 0{,}6=0{,}18$, d'où $\boxed{P(A)=0{,}3}$.

3. L'urne contient $4+n$ boules, dont $4$ rouges. La probabilité de tirer une rouge vaut $\dfrac{4}{4+n}$. Les deux tirages étant indépendants, la probabilité d'obtenir deux rouges est le produit des deux probabilités : $$\left(\frac{4}{4+n}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$ Les deux membres étant positifs, on peut passer à la racine : $$\frac{4}{4+n}=\frac{1}{3} \iff 12=4+n \iff \boxed{n=8}$$ Vérification : l'urne contient alors $12$ boules dont $4$ rouges, soit une probabilité de $\frac{1}{3}$, et $\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$.