ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Espérance, variance et écart-type

Exercice 26

Calcul

Soit $X$ la variable aléatoire de loi :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & -2 & 1 & 3 \\ \hline P(X=x_{i}) & 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}

1. Calculer $E[X]$ .

2. Calculer $V(X)$ en utilisant la définition, c'est-à-dire en calculant les écarts $x_{i}-E[X]$ , en les élevant au carré, puis en les pondérant.

3. Calculer $V(X)$ en utilisant cette fois la formule de König-Huygens.

4. Comparer les deux méthodes en termes de rapidité et de risque d'erreur.

5. En déduire $\sigma(X)$ , arrondi au centième.

Corrigé

1. $E[X]=-2\times 0{,}3+1\times 0{,}5+3\times 0{,}2=-0{,}6+0{,}5+0{,}6=\boxed{0{,}5}$

2. Par la définition. On calcule d'abord les écarts $x_{i}-E[X]$ , puis leurs carrés : $-2-0{,}5=-2{,}5 \qquad 1-0{,}5=0{,}5 \qquad 3-0{,}5=2{,}5$

V(X)=0{,}3\times(-2{,}5)^{2}+0{,}5\times 0{,}5^{2}+0{,}2\times 2{,}5^{2}

=0{,}3\times 6{,}25+0{,}5\times 0{,}25+0{,}2\times 6{,}25=1{,}875+0{,}125+1{,}25=\boxed{3{,}25}

3. Par König-Huygens. $E\left[X^{2}\right]=4\times 0{,}3+1\times 0{,}5+9\times 0{,}2=1{,}2+0{,}5+1{,}8=3{,}5$

$V(X)=E\left[X^{2}\right]-\left(E[X]\right)^{2}=3{,}5-0{,}5^{2}=3{,}5-0{,}25=\boxed{3{,}25}$ Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

4. La seconde méthode ne demande qu'une ligne supplémentaire au tableau, celle des $x_{i}^{2}$ , alors que la première impose de soustraire l'espérance à chaque valeur puis d'élever au carré — soit trois soustractions et trois carrés de nombres décimaux. $\boxed{\text{König-Huygens est plus rapide et moins propice aux erreurs de signe.}}$

5. $\sigma(X)=\sqrt{3{,}25}\approx\boxed{1{,}80}$

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Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

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Notions

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