Exercice 27

1. On applique $E[aX+b]=a\,E[X]+b$ avec $E[X]=4$ :

a) $E[3X]=3\times 4=\boxed{12}$

b) $E[X+5]=4+5=\boxed{9}$

c) $E[2X-1]=8-1=\boxed{7}$

d) $E[-X]=-4=\boxed{-4}$

e) $E[0{,}5X+3]=2+3=\boxed{5}$

f) $E[10-2X]=10-8=\boxed{2}$

2. C'est la linéarité de l'espérance, démontrée dans le cours. Elle évite de reconstruire entièrement le tableau de la loi de $aX+b$ : les valeurs changent, mais les probabilités restent les mêmes, ce qui permet de factoriser.

3. Doubler les gains puis prélever $2$ € conduit à $\boxed{Y=2X-2}$, d'où $$E[Y]=2\times E[X]-2=2\times 1{,}5-2=\boxed{1}$$ Le joueur peut espérer gagner en moyenne $1$ € par partie.

4. Avec un droit d'entrée $d$, le gain est $Y=2X-d$ et $$E[Y]=2\times 1{,}5-d=3-d$$ Le jeu est équitable lorsque $E[Y]=0$, soit $\boxed{d=3~\text{€}}$.

5. C'est faux : la formule de König-Huygens montre précisément que ces deux nombres diffèrent, et que leur écart est la variance : $$V(X)=E\left[X^{2}\right]-\left(E[X]\right)^{2} \iff E\left[X^{2}\right]=V(X)+\left(E[X]\right)^{2}$$

$$\boxed{E\left[X^{2}\right]=9+16=25}$$ L'égalité $E\left[X^{2}\right]=\left(E[X]\right)^{2}$ ne vaudrait que si $V(X)=0$, c'est-à-dire si $X$ ne prenait qu'une seule valeur.