ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Espérance, variance et écart-type

Exercice 28

Calcul

Un jeu de fête foraine se déroule ainsi : le joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient un $6$ , il gagne $10$ € ; s'il obtient un $5$ , il gagne $4$ € ; dans tous les autres cas, il perd $2$ €. On note $X$ le gain algébrique du joueur avant paiement de la mise.

1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

2. Calculer $E[X]$ et interpréter ce résultat par une phrase.

3. Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$ , arrondi au centième.

4. Le joueur doit verser une mise de $m$ euros pour participer. On note $Y=X-m$ son gain net. Exprimer $E[Y]$ en fonction de $m$ .

5. Déterminer la mise $m$ pour que le jeu soit équitable.

6. L'organisateur fixe finalement la mise à $2$ €. Quel bénéfice moyen par partie peut-il espérer réaliser sur un grand nombre de parties ?

Corrigé

1. Une seule face donne $10$ , une seule donne $4$ , et les quatre autres font perdre $2$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_{i} & -2 & 4 & 10 \\ \hline P(X=x_{i}) & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array}

2. $E[X]=-2\times\dfrac{4}{6}+4\times\dfrac{1}{6}+10\times\dfrac{1}{6} =\dfrac{-8+4+10}{6}=\dfrac{6}{6}=\boxed{1}$ $\boxed{\text{Avant paiement de la mise, le joueur gagne en moyenne } 1~\text{€ par partie.}}$

3. $E\left[X^{2}\right]=4\times\dfrac{4}{6}+16\times\dfrac{1}{6}+100\times\dfrac{1}{6} =\dfrac{16+16+100}{6}=\dfrac{132}{6}=22$ $V(X)=22-1^{2}=\boxed{21} \qquad\text{d'où}\qquad \sigma(X)=\sqrt{21}\approx\boxed{4{,}58}$ L'écart-type est bien plus grand que l'espérance : les gains sont très dispersés, le jeu est risqué à court terme.

4. Par linéarité, $E[Y]=E[X-m]=E[X]-m$ , soit $\boxed{E[Y]=1-m}$

5. Le jeu est équitable lorsque $E[Y]=0$ , c'est-à-dire $\boxed{m=1~\text{€}}$ .

6. Avec $m=2$ , on obtient $E[Y]=1-2=-1$ : le joueur perd en moyenne $1$ € par partie. $\boxed{\text{L'organisateur peut espérer gagner } 1~\text{€ par partie.}}$

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

probabilités, loi de probabilité, variance, écart-type, jeu et gain

Notions

espace probabilisé, loi (d'une variable aléatoire)