ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Exercices de synthèse

Exercice 29

QCMDémonstrationCalcul

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.

	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Si $P(A)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ , alors $P_{A}(B)$ vaut	$0{,}1$	$0{,}4$	$2{,}5$
2. Si $P(A)=0{,}4$ et $P_{A}(B)=0{,}3$ , alors $P(A\cap B)$ vaut	$0{,}12$	$0{,}7$	$0{,}75$
3. Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut	$0$	$1$	$P(A)$
4. Si $A$ et $B$ sont indépendants avec $P(A)=0{,}3$ et $P(B)=0{,}5$ , alors $P(A\cap B)$ vaut	$0{,}8$	$0{,}15$	$0{,}2$
5. La formule des probabilités totales s'écrit $P(B)=$	$P(A)+P(\overline{A})$	$P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$	$P_{A}(B)+P_{\overline{A}}(B)$
6. Si $P_{A}(B)=0{,}7$ , alors $P_{A}(\overline{B})$ vaut	$0{,}3$	$0{,}7$	on ne peut pas savoir
7. Si $P(A)=0{,}6$ , $P(B)=0{,}2$ et $P(A\cap B)=0{,}12$ , alors $A$ et $B$ sont	indépendants	incompatibles	ni l'un ni l'autre
8. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont	toujours indépendants	jamais indépendants	parfois indépendants
9. Si $P(X=0)=0{,}4$ et $P(X=2)=0{,}6$ , alors $E[X]$ vaut	$1$	$1{,}2$	$2$
10. Si $E[X]=3$ , alors $E[2X+1]$ vaut	$6$	$7$	$4$

Corrigé

1. Réponse B. $P_{A}(B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4$ . La réponse A multiplie au lieu de diviser, la réponse C inverse le quotient.

2. Réponse A. $P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)=0{,}4\times 0{,}3=0{,}12$ .

3. Réponse B. C'est la loi des nœuds : depuis un nœud, l'une des branches est nécessairement empruntée.

4. Réponse B. L'indépendance donne $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0{,}3\times 0{,}5 =0{,}15$ . La réponse C confondrait avec la réunion.

5. Réponse B. $B$ se décompose selon que $A$ est réalisé ou non, et ces deux morceaux sont incompatibles. La réponse C additionne des probabilités conditionnelles, ce qui n'a pas de sens ici.

6. Réponse A. Les branches $B$ et $\overline{B}$ partent du même nœud, donc $P_{A}(\overline{B})=1-0{,}7=0{,}3$ .

7. Réponse A. $P(A)\times P(B)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12=P(A\cap B)$ . Ils ne sont pas incompatibles, puisque $P(A\cap B)\neq 0$ .

8. Réponse B. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A\cap B)=0$ , alors que $P(A)\times P(B)>0$ : l'égalité ne peut jamais être vérifiée.

9. Réponse B. $E[X]=0\times 0{,}4+2\times 0{,}6=1{,}2$ .

10. Réponse B. $E[2X+1]=2\times 3+1=7$ , par linéarité de l'espérance.

Énoncé PDF, p. 10 Corrigé PDF, p. 16 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus

Thèmes

probabilités, probabilité conditionnelle, arbre pondéré, probabilités totales, tableau à double entrée, indépendance

Notions

espace probabilisé, indépendance