ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Exercices de synthèse

Exercice 30

Vrai ou faux

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple ou l'énoncé correct.

1. Pour tous événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles, $P_{A}(B)=P_{B}(A)$ .

2. Sur un arbre pondéré, le produit des probabilités portées par un chemin donne la probabilité de l'intersection des événements de ce chemin.

3. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A\cap B)=P(A)+P(B)$ .

4. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A\cap B)=0$ .

5. Pour tout événement $A$ de probabilité non nulle, $P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1$ .

6. Pour tous événements $A$ et $B$ , $P_{A}(B)+P_{\overline{A}}(B)=1$ .

7. Si $P_{A}(B)=P(B)$ , alors $A$ et $B$ sont indépendants.

8. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont également.

9. La somme des probabilités figurant dans le tableau d'une loi de probabilité vaut $1$ .

10. Pour toute variable aléatoire $X$ , on a $E\left[X^{2}\right]=\left(E[X]\right)^{2}$ .

11. Une espérance nulle signifie que le joueur ne peut rien gagner.

Corrigé

1. Fausse. Contre-exemple : à l'exercice 1, $P_{C}(F)=0{,}4$ alors que $P_{F}(C)=\frac{4}{15}\approx 0{,}267$ . Les deux quotients n'ont pas le même dénominateur.

2. Vraie. C'est la seconde règle des arbres pondérés.

3. Fausse. L'indépendance donne $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ — un produit, non une somme. Contre-exemple : avec $P(A)=P(B)=0{,}5$ indépendants, $P(A\cap B)=0{,}25$ et non $1$ .

4. Vraie. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se réaliser en même temps : leur intersection est vide.

5. Vraie. Les événements $B$ et $\overline{B}$ partagent l'univers en deux, et cela reste vrai « sachant $A$  ». C'est la loi des nœuds.

6. Fausse. Ces deux nombres portent sur des univers de référence différents et n'ont aucune raison de s'additionner à $1$ . Contre-exemple : à l'exercice 9, $P_{A}(B)=0{,}8$ et $P_{\overline{A}}(B)=0{,}25$ , dont la somme vaut $1{,}05$ .

7. Vraie. C'est la caractérisation de l'indépendance donnée par le cours : savoir que $A$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$ .

8. Vraie. C'est le résultat démontré à l'exercice 19, appliqué deux fois.

9. Vraie. C'est la définition même d'une loi de probabilité : l'une des valeurs est nécessairement prise.

10. Fausse. Ces deux nombres diffèrent de la variance, d'après König-Huygens. Contre-exemple : à l'exercice 27, $E\left[X^{2}\right]=25$ alors que $\left(E[X]\right)^{2}=16$ .

11. Fausse. Une espérance nulle signifie que les gains et les pertes se compensent en moyenne sur un grand nombre de parties. Contre-exemple : un jeu où l'on gagne $10$ € avec probabilité $\frac{1}{2}$ et où l'on en perd $10$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ a une espérance nulle, et le joueur peut pourtant gagner.

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Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités

Thèmes

probabilités, probabilité conditionnelle, arbre pondéré, tableau à double entrée, indépendance, variable aléatoire, loi de probabilité, espérance

Notions

espace probabilisé, indépendance, variable aléatoire, loi (d'une variable aléatoire), espérance