ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Exercices de synthèse

Exercice 31

Calcul

Une maladie touche $2\,\%$ de la population. On dispose d'un test de dépistage dont les performances sont les suivantes :

• si une personne est malade, le test est positif dans $95\,\%$ des cas ;

• si une personne n'est pas malade, le test est négatif dans $97\,\%$ des cas.

On choisit une personne au hasard dans la population. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire les données de l'énoncé, puis construire un arbre pondéré.

2. Calculer $P(M\cap T)$ et $P(\overline{M}\cap T)$ .

3. En déduire $P(T)$ .

4. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement malade. On donnera une valeur approchée au millième.

5. Commenter ce résultat : il est bien inférieur à $95\,\%$ . Expliquer, à l'aide de la question 2, d'où vient ce phénomène.

6. Une personne a un test négatif. Calculer la probabilité qu'elle ne soit effectivement pas malade.

Corrigé

1. Les données se traduisent par $P(M)=0{,}02$ , $P_{M}(T)=0{,}95$ et $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}97$ , d'où $P_{\overline{M}}(T)=1-0{,}97=0{,}03$ .

2. $P(M\cap T)=0{,}02\times 0{,}95=\boxed{0{,}019}$ et $P(\overline{M}\cap T)=0{,}98\times 0{,}03=\boxed{0{,}0294}$

3. $P(T)=0{,}019+0{,}0294=\boxed{0{,}0484}$

4. $P_{T}(M)=\dfrac{0{,}019}{0{,}0484}=\boxed{\dfrac{95}{242}\approx 0{,}393}$

5. Le test est pourtant fiable à $95\,\%$ pour les malades. Mais la question 2 montre que les faux positifs sont plus nombreux que les vrais positifs : $0{,}0294$ contre $0{,}019$ . $\boxed{\begin{array}{l} \text{La maladie est rare } (2\,\%),\text{ donc les } 3\,\% \text{ d'erreurs commises sur les } 98\,\% \\[1mm] \text{de bien portants représentent davantage de cas que les vrais malades détectés.} \end{array}}$ Un test positif doit donc toujours être confirmé par un second examen.

6. $P(\overline{T})=1-0{,}0484=0{,}9516$ et $P(\overline{M}\cap\overline{T})=0{,}98\times 0{,}97=0{,}9506$ , donc $P_{\overline{T}}(\overline{M})=\frac{0{,}9506}{0{,}9516}\approx\boxed{0{,}999}$ Un test négatif est en revanche très fiable : c'est la situation inverse de la précédente.

Énoncé PDF, p. 11 Corrigé PDF, p. 17 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

probabilités, arbre pondéré, test de dépistage

Notions

espace probabilisé