Exercice 32

1. Le dé est équilibré, donc $P(S)=\dfrac{1}{6}$. Si le dé donne $6$, on tire dans $U_{1}$ qui contient $3$ rouges sur $5$ boules ; sinon dans $U_{2}$ qui en contient $1$ sur $5$ : $$\boxed{P(S)=\frac{1}{6} \qquad P_{S}(R)=\frac{3}{5} \qquad P_{\overline{S}}(R)=\frac{1}{5}}$$

2.

3. $P(S\cap R)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{5}=\boxed{\dfrac{1}{10}}$ et $P(\overline{S}\cap R)=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{5}=\boxed{\dfrac{1}{6}}$

4. $P(R)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{30}+\dfrac{5}{30}=\dfrac{8}{30} =\boxed{\dfrac{4}{15}}$

5. $P_{R}(S)=\dfrac{P(S\cap R)}{P(R)}=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{4}{15}} =\dfrac{1}{10}\times\dfrac{15}{4}=\boxed{\dfrac{3}{8}}$

6. $P(S)\times P(R)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{4}{90}=\dfrac{2}{45}$, alors que $P(S\cap R)=\dfrac{1}{10}=\dfrac{4{,}5}{45}$ : $$\boxed{\text{les événements ne sont pas indépendants.}}$$ C'est logique : la couleur dépend de l'urne, donc du résultat du dé.

7. Le gain vaut $5$ si la boule est rouge, $-1$ sinon :

8. $E\left[X^{2}\right]=1\times\dfrac{11}{15}+25\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{111}{15} =\dfrac{37}{5}=7{,}4$, donc $$V(X)=7{,}4-0{,}6^{2}=7{,}4-0{,}36=\boxed{7{,}04} \qquad\text{et}\qquad \sigma(X)=\sqrt{7{,}04}\approx\boxed{2{,}65}$$