ExercicePremière, chapitre 5 — Probabilités conditionnelles · Exercices de synthèse

Exercice 33

Calcul

Pour se rendre à son travail, un employé prend le train $4$ jours sur $5$ , et sa voiture les autres jours. Lorsqu'il prend le train, il arrive en retard une fois sur dix ; lorsqu'il prend sa voiture, une fois sur quatre.

On choisit un jour au hasard. On note $T$ l'événement « l'employé prend le train » et $R$ l'événement « l'employé arrive en retard ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité que l'employé prenne le train et arrive en retard.

3. Calculer la probabilité qu'il arrive en retard.

4. L'employé est arrivé en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait pris sa voiture ?

5. Sachant qu'il est arrivé à l'heure, quelle est la probabilité qu'il ait pris le train ?

Corrigé

1. Prendre le train $4$ jours sur $5$ donne $P(T)=0{,}8$ :

2. $P(T\cap R)=0{,}8\times 0{,}1=\boxed{0{,}08}$

3. $P(R)=0{,}08+0{,}2\times 0{,}25=0{,}08+0{,}05=\boxed{0{,}13}$

4. $P_{R}(\overline{T})=\dfrac{0{,}05}{0{,}13}=\boxed{\dfrac{5}{13}\approx 0{,}385}$ $\boxed{\begin{array}{l} \text{bien qu'il ne prenne la voiture qu'un jour sur cinq,} \\[1mm] \text{elle est responsable de près de } 38\,\% \text{ des retards.} \end{array}}$

5. $P(\overline{R})=1-0{,}13=0{,}87$ et $P(T\cap\overline{R})=0{,}8\times 0{,}9=0{,}72$ , donc $P_{\overline{R}}(T)=\frac{0{,}72}{0{,}87}=\boxed{\frac{24}{29}\approx 0{,}828}$

Énoncé PDF, p. 12 Corrigé PDF, p. 18 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

probabilités, probabilité conditionnelle, arbre pondéré

Notions

espace probabilisé